3D Hough变换点云平面检测算法

本文的主要目标：1.介绍3D Hough Transform的应用场景，算法思路，算法步骤以及代码。2.对其应用场景进行更进一步分析，与相似用途的算法（RandSAC）进行比较,分析优缺点。

1.适用场景分析：

拟合问题也可以看成是在参数空间内进行的搜索。在我们遇到拟合问题时，我们需要解答的问题通常是以下几个方面中的一个：

已知点集合属于某一个平面（模型），这个模型的参数是多少？
点集中可能存在0到多个平面（模型），找到具体有多少模型实例？
找到点集中的哪些点对应哪些平面（模型）？

针对每一个问题，考虑到噪音的分布、计算的代价，一般都能找到比较适合的解决方法。Hough Tranform(下文称HT)方法，可以用于解决（但不一定是最适用）全部以上问题。在后面的具体分析中，我们会知道那种场景适合用哪种方法解决。

2.算法思路：

2.1“投票”算法

已知点集$\{p_1,…,p_n\}$ 中存在平面以及一定数量的噪音，求解最好平面的参数m。拟合问题的解决思路可以用“投票(voting)”来概括：由点 $p_i$向其符合的模型$m_x$投票，得票者最多的模型胜出成为“最好平面”。从理论上来说，这种方法非常通用，不过，n个点的$p_i$与数量不确定的模型之间的组合引发了可穷举性的问题，怎样确定模型的数量？HT解决的就是这个问题。

2.2法向量的转换

平面的方程:$Ax+By+Cz+D=0$,其中$\vec v = \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}$为平面的法向量。D为原点$(0,0,0)$到平面的距离(有符号)。我们可以将法向量$\vec v$带入球极坐标系考虑。

在极坐标系下$$\vec v=\begin{bmatrix}
cos\phi sin\theta \\
sin\phi sin\theta \\
cos\theta \\
\end{bmatrix}$$因为 $\theta \in [0,2\pi],\phi \in[0,2\pi]$,所以我们可以通过离散$\theta,\phi$以及原点到平面的距离$\rho$来实现对参数空间的离散化枚举。

2.3累加器

直线方程为 : $ (cos\phi sin\theta) x + (sin\phi sin\theta) y + cos\theta + \rho =0 $，对于点$p_i$，其针对所有的 $(\theta,\phi)$带入方程均可求得对应的$\rho$，因此每个点$p_i$都可在参数空间形成了对应参数曲面如下图所示：

多个点对应的参数曲面会形成多个交点，其中交点最多的参数$(\theta,\phi,\rho)$即对应的点数最多的平面。如下图所示：

从实现的角度考虑，我们可以构建一个三维的数组，第三维保存符合平面的点的个数，称为累加器。针对每个点$p_i$，均对其对应的$(\theta,\phi,\rho)$进行累加。

2.4需要考虑的问题：

以二维HT线检测为例，出于噪声的影响，我们认为的同一条线可能在HT空间上划分为多个$(\theta,\phi,\rho)$ 因而引发其在累加器上的峰值变的模糊（fuzzy），如下图所示。

解决方案是在进行累加值峰值统计时，并不统计每个基本单元的点个数而得到最大值，而是对每个单元的一个邻域进行合并统计，可以帮助解决噪音导致的峰值分散的问题。

第二个问题是，我们认为平面法向量$v(x,y,z)$与$(-x,-y,-z)$是等同的，所以在$\theta,\phi$角度的值域上，我们仅选取半球$\theta\in[0,\pi],\phi\in[0,\pi]$即可。这样也缩小了计算量。同时，因为法向量的这种对称性，在统计累加器个数时，我们也要认为$\theta=0$与$\theta=\pi$是毗连的，对$\phi$亦然。

3.针对具体应用的改进：

在特定的应用中，我们可能对平面的某些特征进行了更进一步的确定。比如说交通标牌，其法向量通常朝向行车方向，结合HT空间$(\theta,\phi)$的具体含义，我们可以缩小上述参数的值域范围，因此不但可以排除无关平面的“乱入”,而且极大的加速了算法的效率，减小了不小的一笔计算量。

4.分析以及与类似算法进行对比：

HT算法的优点：

所有点都是独立处理的，因此不受离群点的影响。
对噪音有一定的鲁棒性（鲁棒性较其他算法好）
能够进行多个参数实例（比如说多个不同平面）的识别，是HT的独门绝技。

HT的缺点：

计算量极大，计算复杂程度是参数个数的指数倍。
非目标要素会造成伪峰值(这一条在应用得到点云平面检测时并未发现)
参数离散化的步长比较不好选。

同为“投票”算法并且广泛使用的还有RandSAC算法。在拟合算法中，基本的算法还有最小二乘拟合方法。对这三种方法的适用场景、计算量、噪音影响等进行评估，可以得到下表：

5.参考文献：

6.实现代码：

按照参考文献1中的进行实现，文献1中的方位角为$\theta$，俯仰角为$\phi$，与本文以及通行的称呼正好相反，请读者在参考时注意区别。

#define  PI 3.141592653
void HoughTransform(const std::vector<Point>& input, double& A, double& B, double& C, double& D)
{
	int n = input.size();
	if (n < 3)
		return;

	double theta_start=0, theta_end=PI;
	double phi_start=0, phi_end=PI;
	//double phi_start = 0.25*PI, phi_end = 0.75*PI;
	double anglestep=PI/90, disstep=0.1;

	boundingbox box;
	calcboundbox(input, box);
	double d_start = -box.diag() / 2.0, d_end = box.diag() / 2.0;

	int thetas = ceil((theta_end - theta_start) / anglestep);
	int phis = ceil((phi_end - phi_start) / anglestep);
	int dises = ceil( box.diag()/disstep);

	int*** cube = new int**[thetas];
	for (int i = 0; i < thetas;++i)
	{
		cube[i] = new int*[phis];
		for (int j = 0; j < phis; ++j)
		{
			cube[i][j] = new int[dises];
			memset(cube[i][j], 0, sizeof(int)*dises);
		}
	}

	//cos(theta)sin(phi)X+sin(theta)sin(phi)Y+cos(phi)Z = D
	Point ptCenter = box.center();
	for (int i = 0; i < n;++i)
	{
		const Point& ptOrigin = input[i];
		Point point = ptOrigin - ptCenter;

		double theta = theta_start;
		for(int j = 0; j < thetas; ++j)
		{
			int** row = cube[j];
			double phi = phi_start;
			for (int k = 0; k < phis; ++k)
			{
				int* col = row[k];

				double sinphi = sin(phi);
				double d = cos(theta)*sinphi*point.x + sin(theta)*sinphi*point.y + cos(phi)*point.z;

				int d_index = floor((d - d_start) / disstep);
				++(col[d_index]);

				phi += anglestep;
				if (phi > phi_end)
					break;
			}
			theta += anglestep;
			if (theta > theta_end)
				break;
		}
	}//all points

	int buf = 1;
	int maxcount = 0;
	int xmax, ymax, zmax;

	for (int i = 0; i < thetas;++i)
		for (int j = 0; j < phis; ++j)
				for (int k = buf; k < dises - buf;++k)
			{
				int count = 0;
				for (int x = i - buf; x <= i + buf; ++x)
					for (int y = j - buf; y <= j + buf; ++y)
						for (int z = k - buf; z <= k + buf; ++z)
						{
							count += cube[x<0?x+thetas:x%thetas][y<0?y+phis:y%phis][z];
						}
							
				if (count > maxcount)
				{
					xmax = i;
					ymax = j;
					zmax = k;
					maxcount = count;
				}
			}
		
	double theta = theta_start + xmax*anglestep;
	double phi = phi_start + ymax*anglestep;
	double d = d_start + zmax*disstep;

	A = cos(theta)*sin(phi);
	B = sin(theta)*sin(phi);
	C = cos(phi);
	D = -d - (A*ptCenter.x + B*ptCenter.y+C*ptCenter.z);
	//std::cout << A << " , " << B << " , " << C << " , "<< D << std::endl;
	//释放cube
	for (int i = 0; i < thetas; ++i)
	{
		int** row = cube[i];
		for (int j = 0; j < phis;++j)
		{
			int* col = row[j];
			delete[] col;
		}
		delete[] row;
	}
	delete[] cube;
}

依赖的Point 以及 BoundingBox 的实现如下：

class Point
{
public: 
	double x, y, z;
	Point(double ix,double iy,double iz) :
		x(ix), y(iy), z(iz){}

	Point operator-(const Point& pt) const
	{
		return Point(x - pt.x, y - pt.y, z - pt.z);
	}
};
typedef Point Vector;

class boundingbox
{
public:
	double x_min, x_max;
	double y_min, y_max;
	double z_min, z_max;

public:
	double diag() const
	{
		double dx = x_max - x_min;
		double dy = y_max - y_min;
		double dz = z_max - z_min;

		return sqrt(dx*dx + dy*dy + dz*dz);
	}

	boundingbox():
		x_min(std::numeric_limits<double>::max()),
		y_min(std::numeric_limits<double>::max()),
		z_min(std::numeric_limits<double>::max()),
		x_max(-std::numeric_limits<double>::max()),
		y_max(-std::numeric_limits<double>::max()),
		z_max(-std::numeric_limits<double>::max())
	{}

	Point center() const
	{
		return Point((x_max + x_min) / 2.0,(y_min+y_max) / 2.0, (z_min+z_max) / 2.0);
	}
};

void calcboundbox(const std::vector<Point>& input, boundingbox& box)
{
	for (int i = 0, n = input.size(); i < n;++i)
	{
		auto point = input[i];
		if (point.x < box.x_min)
			box.x_min = point.x;
		if (point.y < box.y_min)
			box.y_min = point.y;
		if (point.z < box.z_min)
			box.z_min = point.z;
		if (point.x > box.x_max)
			box.x_max = point.x;
		if (point.y > box.y_max)
			box.y_max = point.y;
		if (point.z > box.z_max)
			box.z_max = point.z;
	}
}

会飞的大象

总结、反思与分享

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