B-Spline(二)基函数

B样条的形式与Bezier曲线的定义方式相同： $C(u) = \sum_{i=0}^n N_{i,n}(u)P_i$ 但是其基函数的形式有很大的变化。重要的一个不同是，B样条的基函数是定义在一组参数区间上的。这一节，我将介绍B样条的基函数。

令U为m+1个非递减的参数 $\{u_0\le u_1 \le … \le u_m\}$ 每个 $u_i$ 叫做，U成为(Knot Vector)，半闭半开区间 $[u_i,u_{i+1})$ 称为第i个(knot span)。基函数的节点是允许存在重复的，如果 $u_i$ 出现了k次(k>1),那么称其为。如果 $u_i$ 仅出现一次，那么称其为。如果说所有的 $[u_i,u_{i+1})$ 区间的长度都是一样的，那么称节点区间为区间，反之称为区间。“非均匀有理B样条”就是说其节点区间为非均匀的。节点将区间 $[u_0,u_{m}]$ 分成多段。但是考虑 $N_{i,p}(u)$ 时,可以认为其定义域是在 $[u_0,u_{m}]$ 上的,但是其只在有限的区间上非0，因此，对比Bezier曲线的基函数，B样条的基函数是比较局部的。

B样条的基函数由三个参数决定：阶数p，参数u，第i个基函数。B样条的基函数由递归公式给出：

$N_{i,0}=\left\{\begin{aligned}1& & u \in [u_i,u_{i+1}) \\0 & & otherwise \end{aligned}\right. \\ N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1-u_{i+1}}}N_{i+1,p-1}(u)$

上述表达式被称为 Cox-de Boor 迭代式。这个式子看起来比较复杂，实则不难理解。为了理解方便，我们可以以5阶B样条的基函数为例，看一下 $N_{0,5}$ 的计算

$N_{0,5}$ 为 $N_{0,4}$ ， $N_{1,4}$ 的线性组合， $N_{0,4}$ ， $N_{1,4}$ 又分别是 $N_{0,3}$ , $N_{1,3}$ , $N_{2,3}$ 的线性组合……经过五次迭代后，可以得出 $N_{0,5}$ 为5次多项式，而且其在区间 $[u_0,u_6)$ 上非0。

下图可以分析上述线性组合系数的含义。

根据deBoor迭代式， $N_{i,p}$ 由 $N_{i,p-1}$ , $N_{i+1,p-1}$ 组合而成。 $N_{i,p-1}$ 在区间 $[u_i,u_{i+p})$ 上非零。 $N_{i+1,p-1}$ 在区间 $[u_{i+1},u_{i+p+1})$ 上非零。可以分情况讨论

当 $u\in [u_i,u_{i+1})$ 时， $N_{i+1,p-1}=0$ ， $N_{i,p}$ 仅由 $N_{i,p-1}$ 决定。系数为 $uu_i$ 占 $u_iu_{i+p}$ （蓝线）的比例。
当 $u\in[u_{i+p},u_{i+p+1})$ 时， $N_{i,p-1}=0$ ， $N_{i,p}$ 仅由 $N_{i+1,p-1}$ 决定。系数为 $uu_{i+p+1}$ 占 $u_{i+1}u_{i+p+1}$ （红线）的比例。
当 $u\in[u_{i+1},u_{i+p})$ 时，两项都不为零， $N_{i,p}$ 为二者的线性组合，系数与上述相同。

基函数的性质

为了讨论基函数的性质，我有必要先贴出一个nurbs基函数的flash的链接，大家可以下载后设置打开方式为chrome/firefox/IE自行浏览。

http://geometrie.foretnik.net/files/NURBS-en.swf

这个动画非常直观的表现了基函数的所有性质，需要认真的实验即便细细体会。

n阶B样条的基函数为n次多项式。 $N_{0,5}$ 的图里可以看到。
非负性。所有的 $N_{i,p} \ge 0$ 。如下图，可以看到所有的曲线都位于坐标轴上方。
局部性。对 $N_{0,5}$ 的观察推而广之，可以得出 $N_{i,p}$ 在区间 $[u_i,u_{i+p+1})$ 上非零。结合下图，可以看到每个基函数仅在有限个区间上非零。
反过来看，在区间 $[u_i,u_{i+1})$ 上，非零的基函数非别为 $N_{i-p},…,N_i$ 共p+1个。当然，通过 $i-p \ge 0$ 得出,当 $i <p$ 时，非零基函数小于p+1个。因此在区间 $[u_i,u_{i+1})$ 上，非零基函数至多为p+1个。结合下图中的黑线，可以看到在0.5与1.0间随便取一个参数u,其对应曲线有4个非零值。
单位分解率。在区间 $[u_i,u_{i+1})$ 上，非零基函数 $N_{i-p},…,N_i$ 的和为1。这一点与bezier曲线的基函数性质相同（当然了，bezier曲线只是B样条的一个子集）。
如果节点的数量为m+1个，控制点的个数为n+1个，则存在等式m=n+p+1。因为最后一个基函数 $N_{n,p}$ 在区间 $[u_n,u_{n+p+1})$ 上非零。所以说 $u_{n+p+1}=u_m$ 为最后一个节点。这个等式，我们后面会经常用来确定节点与控制点的个数关系。
基函数在其非零区间中是由多段多项式函数组合而成的。实际上，在每个节点区间上，基函数拥有独立的多项式系数。
如果一个节点u的重复度为k,那么任意基函数在u处的连续性为 $C^{n-k}$ 。