B-Spline(二)基函数

B样条的形式与Bezier曲线的定义方式相同：$C(u) = \sum_{i=0}^n N_{i,n}(u)P_i $ 但是其基函数的形式有很大的变化。重要的一个不同是，B样条的基函数是定义在一组参数区间上的。这一节，我将介绍B样条的基函数。

令U为m+1个非递减的参数$\{u_0\le u_1 \le … \le u_m\}$ 每个$u_i$叫做节点，U成为节点序列(Knot Vector)，半闭半开区间$[u_i,u_{i+1})$称为第i个节点区间(knot span)。基函数的节点是允许存在重复的，如果$u_i$出现了k次(k>1),那么称其为k重节点。如果$u_i$仅出现一次，那么称其为简单节点。如果说所有的$[u_i,u_{i+1})$区间的长度都是一样的，那么称节点区间为均匀区间，反之称为非均匀区间。“非均匀有理B样条”就是说其节点区间为非均匀的。节点将区间$[u_0,u_{m}]$分成多段。但是考虑$N_{i,p}(u)$时,可以认为其定义域是在$[u_0,u_{m}]$上的,但是其只在有限的区间上非0，因此，对比Bezier曲线的基函数，B样条的基函数是比较局部的。

B样条的基函数由三个参数决定：阶数p，参数u，第i个基函数。B样条的基函数由递归公式给出：$$ N_{i,0}=\left\{\begin{aligned}1& & u \in [u_i,u_{i+1}) \\0 & & otherwise \end{aligned}\right. \\ N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1-u_{i+1}}}N_{i+1,p-1}(u)$$

上述表达式被称为 Cox-de Boor 迭代式。这个式子看起来比较复杂，实则不难理解。为了理解方便，我们可以以5阶B样条的基函数为例，看一下$N_{0,5}$的计算

$N_{0,5}$为$N_{0,4}$，$N_{1,4}$的线性组合，$N_{0,4}$，$N_{1,4}$又分别是$N_{0,3}$,$N_{1,3}$,$N_{2,3}$的线性组合……经过五次迭代后，可以得出$N_{0,5}$为5次多项式，而且其在区间$[u_0,u_6)$上非0。

下图可以分析上述线性组合系数的含义。

根据deBoor迭代式，$N_{i,p}$由$N_{i,p-1}$,$N_{i+1,p-1}$组合而成。$N_{i,p-1}$在区间$[u_i,u_{i+p})$上非零。$N_{i+1,p-1}$在区间$[u_{i+1},u_{i+p+1})$上非零。可以分情况讨论

当$u\in [u_i,u_{i+1})$时，$N_{i+1,p-1}=0$，$N_{i,p}$仅由$N_{i,p-1}$决定。系数为$uu_i$占$u_iu_{i+p}$（蓝线）的比例。
当 $u\in[u_{i+p},u_{i+p+1})$时，$N_{i,p-1}=0$，$N_{i,p}$仅由$N_{i+1,p-1}$决定。系数为$uu_{i+p+1}$占$u_{i+1}u_{i+p+1}$（红线）的比例。
当 $u\in[u_{i+1},u_{i+p})$时，两项都不为零，$N_{i,p}$为二者的线性组合，系数与上述相同。

基函数的性质

为了讨论基函数的性质，我有必要先贴出一个nurbs基函数的flash的链接，大家可以下载后设置打开方式为chrome/firefox/IE自行浏览。

http://geometrie.foretnik.net/files/NURBS-en.swf

这个动画非常直观的表现了基函数的所有性质，需要认真的实验即便细细体会。

n阶B样条的基函数为n次多项式。$N_{0,5}$的图里可以看到。
非负性。所有的$N_{i,p} \ge 0$。如下图，可以看到所有的曲线都位于坐标轴上方。
局部性。对$N_{0,5}$的观察推而广之，可以得出$N_{i,p}$在区间$[u_i,u_{i+p+1})$上非零。结合下图，可以看到每个基函数仅在有限个区间上非零。
反过来看，在区间$[u_i,u_{i+1})$上，非零的基函数非别为 $N_{i-p},…,N_i$共p+1个。当然，通过$i-p \ge 0$得出,当$i <p$时，非零基函数小于p+1个。因此在区间$[u_i,u_{i+1})$上，非零基函数至多为p+1个。结合下图中的黑线，可以看到在0.5与1.0间随便取一个参数u,其对应曲线有4个非零值。
单位分解率。在区间$[u_i,u_{i+1})$上，非零基函数 $N_{i-p},…,N_i$的和为1。这一点与bezier曲线的基函数性质相同（当然了，bezier曲线只是B样条的一个子集）。
如果节点的数量为m+1个，控制点的个数为n+1个，则存在等式m=n+p+1。因为最后一个基函数$N_{n,p}$在区间$[u_n,u_{n+p+1})$上非零。所以说$u_{n+p+1}=u_m$为最后一个节点。这个等式，我们后面会经常用来确定节点与控制点的个数关系。
基函数在其非零区间中是由多段多项式函数组合而成的。实际上，在每个节点区间上，基函数拥有独立的多项式系数。
如果一个节点u的重复度为k,那么任意基函数在u处的连续性为$C^{n-k}$。