二维直线常用斜截式方程 $y=kx+b$表达。
已知离散点 

$$\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_n,y_n)\}$$  欲求一条直线$y=kx+b$，使得 $${f=\sum_{i=1}^n (kx_i+b-y_i)^2}$$ 取得最小值。
$k$,$b$为未知数 ，根据最小二乘解法，令 $f$ 对$k$,$b$ 偏导数分别为0，求解出来的$k$,$b$即所求直线参数 $$\frac {\partial f}{\partial k} = \sum_{i=1}^n 2x_i(kx_i+b-y_i)=0$$
$$\frac {\partial f}{\partial b} = \sum_{i=1}^n 2(kx_i+b-y_i)=0$$

化简后得到

$$\sum x^2k + \sum xb=\sum xy$$
$$\sum xk + nb = \sum y$$

或者写成矩阵形式更好

$${\left[\begin{array}{cc} \sum x^2 & \sum x\\ \sum x &n \end{array} \right ]}{\left[\begin{array}{cc}k\\b\end{array}\right ]} = {\left[\begin{array}{cc} \sum xy\\ \sum y\end{array}\right ]}$$
此时可用采用克拉默法则求解。
$$k=\frac {n\sum xy – \sum x\sum y}{n\sum x^2 – (\sum x)^2}$$
$$b=\frac {n\sum x^2 \sum y – \sum x\sum xy}{n\sum x^2 – (\sum x)^2}$$
我推荐参考Eigen 对线性方程的求解。
在实践中，有同学采用上述思路完成了编码，测试时却发现“某些”情况下，算法似乎取的结果存在问题。问题存在与那一块呢？
其实就在与 $y=kx+b$方程式上。如果待求的直线为一条垂直与x轴的直线，$y=kx+b$是无法表示的，因而在数值上存在问题，表现就是k的值求不准。结合上面的求解方程，就是等号左边的$2\times2$矩阵奇异或者接近奇异。
很显然，在特定的应用场景下，比如几何算法中，斜截式方程存在缺陷，不能表达所有情况。有没有更好的解决方案？
那就是  $$Ax+By+C=0$$ 涵盖了所有情况。具体解法我会在下一篇博文给出。敬请关注。