从本篇开始，我将陆续介绍NURBS(Non-Uniform Relational B-Spline 非均匀有理B样条)有关的算法以及实现。作为背景，我们有必要了解参数曲线的知识。

参数曲线的形式

我们在提到数学函数时，最先想到的是\(y=f(x)\),\(z=f(x,y)\)或者更一般的\(f(x,y,z,…)=0\)的形式。但是这种形式并不便于计算机编程实现。使用参数曲线形式更好。参数曲线是将曲线（方程）f 以 \(x=f_x (t) ,y=f_y(t)\)的形式来表达。比如直线：$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
\overset{.}
x &=x_0+v_x t\\
y&=y_0 + v_y t\\
z&=z_0 + v_z t\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}$$
圆：$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
\overset{.}
x &=a + cos(\theta)r\\
y&=b + sin(\theta)r\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation}$$

参数曲线建立了\(t\rightarrow (x,y,z)\)的映射，即对应定义域内任意一点t,均有空间位置\((x,y,z)\)与之对应。参数的取值，有时候具有其物理意义。比如常见的以时间t为参数表达的里程与时间的关系曲线。NURBS曲线就是以参数曲线的形式定义的。

正切向量与切线

在参数曲线上对应参数t处的正切向量,为各个维度对t求导后的数字构成的向量，如果参数曲线形式为 \(F(t)=(f(t),h(t),g(t))\)，那么其正切向量可以表达为 \(F'(t)=[f'(t),h'(t),g'(t)]^T\)。通常，这样求出正切向量的模长不唯一，需要将其归一化。

参数曲线在t处的切线为 \(l = [f(t),h(t),g(t)]^T + [f'(t),h'(t),g'(t)]^Tu\)。我给出的切线的定义也是参数曲线。

曲率

曲率是曲率半径的倒数，是用来描述曲线在某点处弯曲程度的指标。从高中课本上，我们已经知道\(y=f(x)\)的曲率为：$$\kappa =\frac{|y”|}{(1+y’^2)^{3/2}}$$参数曲线的曲率是这样的：$$\kappa = \frac{|f'(t)\times f”(t)|}{|f'(t)^3|}$$

我们可以证明一下\(y=f(x)\)的曲率只是参数曲线曲率的特殊形式。\(y=f(x)\)可以用 \(y=f(t),x=t\)来表示，那么 \(F'(t) = [f'(x),1]^T,F”(t)=[f”(x),0]\)。$$\kappa = \frac{|f'(x)\times 0 – f”(x)\times 1|}{|1*1+f'(x)^2|^{3/2}} = \frac{|y”|}{(1+y’^2)^{3/2}}$$

所以，以后大家直接记住参数曲线的求导公式就好了。

连续性

对于两段连续的曲线，考虑从一个曲线过渡到另一个曲线的“平滑”程度，成为参数曲线的连续性问题。很多业务都对曲线提出了连续性要求。如公路设计。假设你在公路上行驶，当从一段公路行驶到另一段公路时，如果连接处几何坐标相同（当然，否则你就掉沟里去了），那么我们称参数曲线\(C^0\)连续。如果在切换时速度大小方向不变（即切向量不变），那么称之为\(C^1\)连续。如果加速度没有变化，则成为\(C^2\)连续，以此类推。就是说，如果两个曲线能够保证0到k阶的导数向量均相等，那么称之为\(C^k\)连续。如果曲率没有发生变化，则称为曲率连续。注意，如果\(C^2\)连续，那么曲率一定连续，如果曲率连续，不一定\(C^2\)连续。曲率是一个标量。

特别需要提到的是，参数的选取与连续性有直接关系。还以公里行驶为例，如果以时间t为参数表示里程，那么切向量就是速度v。如果在一段路上，你的速度表是以 公里/小时记录的，另一段路上，你的速度计改为 mile/h。即使你实际上并没有改变车速，但是因为两段路参数化方式的不一样，仍然达不到\(C^1\)连续。

因此，我们采用“Geometric Continuity”，几何连续来表达这样的连续问题，即如果存在两种参数化方式，能够使得两个参数曲线\(C^k\)连续，那么则认为两个曲线\(G^k\)连续。对于我们常用的\(G^1,G^2\)，可以用更特定的方式描述：

1. 两个\(C^0\)曲线当且仅当在连接处一阶导数方向相同时（注意，不能是相反，即两个切向量点积大于0）\(G^1\)连续。
2. 两个\(C^1\)曲线当且仅当在连接处的 二阶导数差值\(f”(u)-g”(u)\)与一阶导数平行时\(G^2\)连续。

在一些商业软件中，有对应的实现。我原来做地图时用到的coreldraw ,即有非常方便的连接工具，使得bezier曲线连接时保证方向不发生变化。

本文参考了 Dr. Ching-Kuang Shene 的  Introduction to Computing with Geometry 课程，非常棒的材料，看到浙大CAD实验室的有关nurbs的教程也参考了。推荐阅读。